指数加权移动平均

指数加权移动平均(Exponential Weighted Moving Average)，简写为EMA。最近不知道干点啥，没有目标，所以想着先打好机器学习的基础吧，所以就简单的总结了一下基于梯度的一些优化算法，但是在看到Adadelta算法的时候，碰到了指数加权移动平均，感觉要理解这个算法，必须要理解EMA，所以在网上就抄袭了以下的内容。

为了理解下面的内容，我们先介绍一下什么是指数（妈呀这也能忘，今天高考完了，我这水平去参加高考，估计连二本都够呛了吧，23333～）。

指数是幂运算$aⁿ(a\ne 0)$中的一个参数，$a$为底数，$n$为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。当$n$是一个正整数，$aⁿ$表示$n$个$a$连乘。当$n=0$时，$aⁿ=1$。

EMA 简介

演化

算术平均（权重相等）—>加权平均（权重不等）—>移动平均（大约是只取最近的 N 次数据进行计算）—> 批量归一化(BN)及各种优化算法的基础。

EMA：是以指数式递减加权的移动平均，各数值的加权影响力随时间呈指数式递减，时间越靠近当前时刻的数据加权影响力越大。

公式及理解

$v_t=\beta v_{t-1}+(1-\beta ){\theta }_t$，公式中${\theta }_t$为$t$时刻的实际温度；系数$\beta$表示加权下降的快慢，值越小权重下降的越快；$v_t$为$t$时刻 EMA 的值。

当$v_0=0$的时候，可得$v_t=(1-\beta )({\theta }_t+\beta {\theta }_{t-1}+{\beta }^2{\theta }_{t-2}+\dots +{\beta }^{t-1}{\theta }_1)$，从公式中可以看到：每天温度$(\theta )$的权重系数以指数等比形式缩小，时间越靠近当前时刻的数据加权影响力越大。

在优化算法中，我们一般取$\beta >=0.9$，而$1+\beta +{\beta }^2+\dots +{\beta }^{t-1}=\frac{1-{\beta }^t}{1-\beta }$，所以当 t 足够大时${\beta }^t\approx 0$，此时便是严格意义上的指数加权移动平均。

在优化算法中，我们一般取$\beta >=0.9$，此时有${\beta }^{\frac{1}{1-\beta }}\approx \frac{1}{e}\approx 0.36$，也就是说$N=\frac{1}{1-\beta }$天后，曲线的高度下降到了约原来的$\frac{1}{e}$。由于时间越往前推移 $\theta$权重越来越小，所以相当于说：我们每次只考虑最近(latest) $N=\frac{1}{1-\beta }$天的数据来计算当前时刻的 EMA，这也就是移动平均的来源。

EMA 偏差修正

在$\beta =0.98$时，理想状况下，我们应该能得到绿色曲线，然而现实我们得到的却是紫色曲线，它的起点比真实的要低很多，不能很好的估计起始位置的温度，此问题称为：冷启动问题，这是由于$v_0=0$造成的。

解决方案：将所有时刻的 EMA 除以$1-{\beta }^t$后作为修正后的 EMA。当 $t$很小时，这种做法可以在起始阶段的估计更加准确；当 $t$很大时，偏差修正几乎没有作用，所以对原来的式子几乎没有影响。注意：我们一般取$\beta >=0.9$，计算 $t$时刻偏修正后的 EMA 时，用的还是$t-1$时刻修正前的EMA。

EMA 的优点及其应用理解

EMA 的优点

它占用极少内存：计算指数加权平均数只占用单行数字的存储和内存，然后把最新数据代入公式，不断覆盖就可以了。

移动平均线能较好的反应时间序列的变化趋势，权重的大小不同起到的作用也是不同，时间比较久远的变量值的影响力相对较低，时间比较近的变量值的影响力相对较高。

EMA 在 Momentum 优化算法中应用的理解

假设每次梯度的值都是$\gamma =0.95$ ，此时参数更新幅度会加速下降，当 $n$ 达到 150 左右，此时达到了速度上限，之后将匀速下降（可参考一中的公式理解）。

假如，在某个时间段内一些参数的梯度方向与之前的不一致时，那么真实的参数更新幅度会变小；相反，若在某个时间段内的参数的梯度方向都一致，那么其真实的参数更新幅度会变大，起到加速收敛的作用。在迭代后期，由于随机噪声问题，经常会在收敛值附近震荡，动量法会起到减速作用，增加稳定性。

参考

Coursera：Exponentially-Weighted-Moving-Averages
指数
指数加权移动平均(Exponential Weighted Moving Average)