矩阵的迹及其性质

矩阵的迹

在线性代数中，n乘n方阵“A”的迹，是指“A”的主对角线各元素的总和（从左上方至右下方的对角线），例如：

t r (A) = A_{1, 1} + A_{2, 2} + . . . + A_{n, n}

其中 $A_{i j}$ 代表在 i 行 j 栏中的数值。同样的，元素的迹是其特征值的总和，使其不变量根据选择的基本准则而定。

迹的英文为“trace”，是来自德文中的“Spur”这个单字（与英文中的“Spoor”是同源词），在数学中，通常简写为“Sp”。

迹是一种线性算子。亦即，对于任两个方阵A、B和标量r，会有下列关系：

t r (A + B) = t r (A) + t r (B)

t r (m A + n B) = m t r (A) + n t r (B)

t r (r A) = r t r (A)

因为主对角线不会在转置矩阵中被换掉，所以所有的矩阵和其转置矩阵都会有相同的迹：

t r (A) = t r (A^{T})

设A是一个n×m矩阵，B是个m×n矩阵，则：

t r (A B) = t r (B A)

其中AB是n×n矩阵，而BA是m×m矩阵。

上述可以由矩阵乘法的定义证明：

利用这个结果，我们可以推导出方阵的乘积和其任何循环置换的乘积会有相同的迹，称为迹的“循环性质”。例如，有三个方阵A、B、C，则：

t r (A B C) = t r (C A B) = t r (B C A)

更一般化地，当矩阵不被假设为方阵，但其所有乘积依然存在时，其迹依然会完全相同。

若A、B、C为有着相同维度的方阵而且对称的话，其乘积的迹不只在循环置换下不会改变，而是在所有的置换下均不会改变，亦即

t r (A B C) = t r (C A B) = t r (B C A) = t r (B A C) = t r (C B A) = t r (A C B)

迹拥有相似不变性，即 $A$ 和 $P^{? 1} A P$ 会有相同的迹，尽管总是存在一相同迹但不相似的矩阵。这一性质可使上面讲过的循环性质来证明：

t r (P^{? 1} A P) = t r (P P^{? 1} A) = t r (A)

给定任一线性映射 $f : V \to V$ （V是一有限维向量空间），我们可以定义此一映射的迹为其矩阵表达式的迹，即选定 $V$ 的一基并描述 $f$ 为一对应于此基的矩阵，再取此一方阵的迹。其结果将和所选取的基无关，当不同的基都会得出相似的矩阵。