9递归：如何用三行代码找到最终推荐人

首先，该文章来自于极客时间网站，王争的专栏——《数据结构与算法之美》，我这里只是做简单的解释、记录并添加自己的见解，只是作为个人笔记，若侵权，马上删除。最后建议直接去该网站上购买该课程看原作者的讲解，一来是支持作者，二来是作者写的确实不错。

现在很多 App 都有这推荐注册返佣金功能。这个功能中，用户 A 推荐用户 B 来注册，用户 B 又推荐了用户 C 来注册。那么，用户 C 的“最终推荐人”为用户 A，用户 B 的“最终推荐人”也为用户 A，而用户 A 没有“最终推荐人”。

一般来说，会通过数据库来记录这种推荐关系。在数据库表中，可以记录两行数据，其中 actor_id 表示用户 id，referrer_id 表示推荐人 id。

给定一个用户 ID，如何查找这个用户的“最终推荐人”？

如何理解“递归”？

数据结构有两个最难理解的知识点：一个是动态规划，另一个就是递归。

递归是一种应用非常广泛的算法（或者编程技巧）。之后要讲的很多数据结构和算法的编码实现都要用到递归，比如 DFS 深度优先搜索、前中后序二叉树遍历等等。所以，搞懂递归非常重要，否则，后面复杂一些的数据结构和算法学起来就会比较吃力。

去看电影时，电影院太黑了，找不到坐第几排。于是你就问前面一排的人他是第几排，你想只要在他的数字上加一，就知道自己在哪一排了。但是，前面的人也看不清，所以他也问他前面的人。就这样一排一排往前问，直到问到第一排的人，说我在第一排，然后再这样一排一排再把数字传回来。直到你前面的人告诉你他在哪一排，于是你就知道答案了。

将“递归”这个名词拆开看，去的过程叫“递”，回来的过程叫“归”。基本上，所有的递归问题都可以用递推公式来表示。

$f(n)=f(n-1)+1 \ \ \ \ \ 其中，f(1)=1$

$f(n)$ 表示你想知道自己在哪一排，$f(n-1)$ 表示前面一排所在的排数，$f(1)=1$表示第一排的人知道自己在第一排。有了这个递推公式，就可以很轻松地将它改为递归代码，如下：

int f(int n) {
  // 终止条件，也就是直接Return，不再继续执行下面的语句了
  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

递归需要满足的三个条件

刚刚这个例子是非常典型的递归，那究竟什么样的问题可以用递归来解决呢？这有三个条件，只要同时满足以下三个条件，就可以用递归来解决。

一个问题的解可以分解为几个子问题的解
子问题就是数据规模更小的问题。比如，前面讲的电影院的例子，“自己在哪一排”的问题，可以分解为“前一排的人在哪一排”这样一个子问题。
这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
比如电影院那个例子，求解“自己在哪一排”的思路，和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路，是一模一样的。
存在递归终止条件
把问题分解为子问题，把子问题再分解为子子问题，一层一层分解下去，不能存在无限循环，这就需要有终止条件。还是电影院的例子，第一排的人不需要再继续询问任何人，就知道自己在哪一排，也就是 f(1)=1，这就是递归的终止条件。
另外，还需要注意的是，要通过几个边界值例子，看终止条件是否足够。

如何编写递归代码？

写递归代码最关键的是写出递推公式，找到终止条件，剩下将递推公式转化为代码就很简单了。例如：

假如这里有 n 个台阶，每次可以跨 1 个台阶或者 2 个台阶，请问走这 n 个台阶有多少种走法？

实际上，可以根据第一步的走法把所有走法分为两类，第一类是第一步走了 1 个台阶，另一类是第一步走了 2 个台阶。所以 n 个台阶的走法就等于先走 1 阶后，n-1 个台阶的走法加上先走 2 阶后，n-2 个台阶的走法。用公式表示就是：

$f(n) = f(n-1)+f(n-2)$

其中，$f(n)$表示$n$个台阶的走法总数，$f(n-1)$表示$n-1$个台阶的走法总数。

有了递推公式，递归代码基本上就完成了一半。再来看下终止条件。当有一个台阶时，不需要再继续递归，就只有一种走法。所以 $f(1)=1$。但是这个递归终止条件不够。当$n=2$ 时，$f(2)=f(1)+f(0)$。如果递归终止条件只有一个 $f(1)=1$，那 $f(2)$ 就无法求解了。所以除了 $f(1)=1$ 这一个递归终止条件外，还要有 $f(0)=1$，表示走 0 个台阶有一种走法，不过这样子看起来就不符合正常的逻辑思维了。所以可以把 $f(2)=2$ 作为一种终止条件，表示走 2 个台阶，有两种走法，一步走完或者分两步来走。

所以，递归终止条件就是 $f(1)=1，f(2)=2$。这时再拿 $n=3，n=4$ 来验证一下，这个终止条件是否足够并且正确。

把递归终止条件和刚刚得到的递推公式放到一起就是这样的：

$f(1) = 1 \\ f(2) = 2 \\ f(n) = f(n-1)+f(n-2)$

有了这个公式，我们转化成递归代码就简单多了。最终的递归代码是这样的：

int f(int n) {
  // 前面这两行是递归终止条件，也就是直接Return，不再继续执行下面的语句了
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  return f(n-1) + f(n-2);
}

总结一下，写递归代码的关键就是找到如何将大问题分解为小问题的规律，并且基于此写出递推公式，然后再推敲终止条件，最后将递推公式和终止条件翻译成代码。

递归代码不太好理解。刚讲的电影院的例子，递归调用只有一个分支，也就是说一个问题只需要分解为一个子问题，很容易能够想清楚“递“和”归”的每一个步骤，所以写起来、理解起来都不难。但是，当面对的是一个问题要分解为多个子问题的情况，递归代码就没那么好理解了。像第二个例子，人脑几乎没办法把整个“递”和“归”的过程一步一步都想清楚。

计算机擅长做重复的事情，所以递归正和它的胃口。而人脑更喜欢平铺直叙的思维方式。当看到递归时，总想把递归平铺展开，脑子里就会循环，一层一层往下调，然后再一层一层返回，试图想搞清楚计算机每一步都是怎么执行的，这样就很容易被绕进去。

对于递归代码，这种试图想清楚整个递和归过程的做法，实际上是进入了一个思维误区。很多时候，理解递归比较吃力，主要原因就是自己给自己制造了这种理解障碍。正确的思维方式应该是下面这样的。

如果一个问题 A 可以分解为若干子问题 B、C、D，可以假设子问题 B、C、D 已经解决，在此基础上思考如何解决问题 A。而且，只需要思考问题 A 与子问题 B、C、D 两层之间的关系即可，不需要一层一层往下思考子问题与子子问题，子子问题与子子子问题之间的关系。屏蔽掉递归细节，理解起来就简单多了。

因此，编写递归代码的关键是，只要遇到递归，就把它抽象成一个递推公式，不用想一层层的调用关系，不要试图用人脑去分解递归的每个步骤。

递归代码要警惕堆栈溢出

在实际的软件开发中，编写递归代码时，会遇到很多问题，比如堆栈溢出。而堆栈溢出会造成系统性崩溃，后果会非常严重。

为什么会出现堆栈溢出呢？函数调用会使用栈来保存临时变量。每调用一个函数，都会将临时变量封装为栈帧压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。系统栈或者虚拟机栈空间一般都不大。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。

比如前面的讲到的电影院的例子，如果将系统栈或者 JVM 堆栈大小设置为 1KB，在求解 $f(19999)$ 时便会出现如下堆栈报错：

1	Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError

如何避免出现堆栈溢出呢？可以通过在代码中限制递归调用的最大深度的方式来解决这个问题。递归调用超过一定深度（比如 1000）之后，就不继续往下再递归了，直接返回报错。还是电影院那个例子，可以改造成下面这样子，就可以避免堆栈溢出了。伪代码如下，为了代码简洁，有些边界条件没有考虑，比如 x<=0。

// 全局变量，表示递归的深度
int depth = 0;

int f(int n) {
  ++depth；
  if (depth > 1000) throw exception;
  
  if (n == 1) return 1;
  return f(n-1) + 1;
}

但这种做法并不能完全解决问题，因为最大允许的递归深度跟当前线程剩余的栈空间大小有关，事先无法计算。如果实时计算，代码过于复杂，就会影响代码的可读性。所以，如果最大深度比较小，比如 10、50，就可以用这种方法，否则这种方法并不是很实用。

递归代码要警惕重复计算

除此之外，使用递归时还会出现重复计算的问题。第二个递归代码的例子，如果把整个递归过程分解一下的话，那就是这样的：

从图中，可以直观地看到，想要计算 f(5)，需要先计算 f(4) 和 f(3)，而计算 f(4) 还需要计算 f(3)，因此，f(3) 就被计算了很多次，这就是重复计算问题。

这里的重复计算并不是说导致结果错误，而是浪费了计算资源。

为了避免重复计算，可以通过一个数据结构（比如散列表）来保存已经求解过的 f(k)。当递归调用到 f(k) 时，先看下是否已经求解过了。如果是，则直接从散列表中取值返回，不需要重复计算，这样就能避免刚讲的问题了。

对应的代码如下：

public int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  // hasSolvedList可以理解成一个Map，key是n，value是f(n)
  if (hasSolvedList.containsKey(n)) {
    return hasSolvedList.get(n);
  }
  
  int ret = f(n-1) + f(n-2);
  hasSolvedList.put(n, ret);
  return ret;
}

除了堆栈溢出、重复计算这两个常见的问题。递归代码还有很多别的问题。

在时间效率上，递归代码里多了很多函数调用，当这些函数调用的数量较大时，就会积聚成一个可观的时间成本。在空间复杂度上，因为递归调用一次就会在内存栈中保存一次现场数据，所以在分析递归代码空间复杂度时，需要额外考虑这部分的开销，比如我们前面讲到的电影院递归代码，空间复杂度并不是 O(1)，而是 O(n)。

怎么将递归代码改写为非递归代码？

递归有利有弊，利是递归代码的表达力很强，写起来非常简洁；而弊就是空间复杂度高、有堆栈溢出的风险、存在重复计算、过多的函数调用会耗时较多等问题。所以，在开发过程中，要根据实际情况来选择是否需要用递归的方式来实现。

另外还可以考虑使用将递归改为非递归的方式。比如刚才那个电影院的例子，可以改成如下形式：

int f(int n) {
  int ret = 1;
  for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    ret = ret + 1;
  }
  return ret;
}

同样，第二个例子也可以改为非递归的实现方式。

int f(int n) {
  if (n == 1) return 1;
  if (n == 2) return 2;
  
  int ret = 0;
  // pre和prepre分别表示f(n-1)和f(n-2)
  int pre = 2;
  int prepre = 1;
  for (int i = 3; i <= n; ++i) {
    ret = pre + prepre;
    prepre = pre;
    pre = ret;
  }
  return ret;
}

所有的递归代码都可以改为这种迭代循环的非递归写法。因为递归本身就是借助栈来实现的，只不过我们使用的栈是系统或者虚拟机本身提供的。如果自己在内存堆上实现栈，手动模拟入栈、出栈过程，这样任何递归代码都可以改写成看上去不是递归代码的样子。但是这种思路实际上是将递归改为了“手动”递归，本质并没有变，而且也并没有解决前面讲到的某些问题，徒增了实现的复杂度。

解答开篇

来看一下开篇的问题：如何找到“最终推荐人”？

long findRootReferrerId(long actorId) {
  Long referrerId = select referrer_id from [table] where actor_id = actorId;
  if (referrerId == null) return actorId;
  return findRootReferrerId(referrerId);
}

用三行代码就能搞定了，不过在实际项目中，上面的代码因为有如下两个问题并不能工作。

第一，如果递归很深，可能会有堆栈溢出的问题。

第二，如果数据库里存在脏数据，还需要处理由此产生的无限递归问题。比如 demo 环境下数据库中，测试工程师为了方便测试，会人为地插入一些数据，就会出现脏数据。如果 A 的推荐人是 B，B 的推荐人是 C，C 的推荐人是 A，这样就会发生死循环。

第一个问题，可以用限制递归深度来解决。第二个问题，也可以用限制递归深度来解决。不过，还有一个更高级的处理方法，就是自动检测 A-B-C-A 这种“环”的存在。

内容小结

递归是一种非常高效、简洁的编码技巧。只要是满足“三个条件”的问题就可以通过递归代码来解决。

一个问题的解可以分解为几个子问题的解，所谓子问题就是数据规模更小的问题。
这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样。
存在递归终止条件。另外，还需要注意的是，要通过几个边界值例子，看终止条件是否足够。

除此之外，个人觉得还有一个更加关键的问题是：拿到一个问题之后，怎么去判断能不能分解为几个子问题的解。可以先从问题的第一个解或者最后一个解入手思考，找到一个切入点比较关键。

不过递归代码也比较难写、难理解。编写递归代码的关键就是不要把自己绕进去，正确姿势是写出递推公式，找出终止条件，然后再翻译成递归代码。

理解递归代码时，一定不要像自己绕进去，正确的理解方式是，假设这些子问题已经解决了，只需要思考如何利用这些子问题解决当前问题即可。

递归代码虽然简洁高效，但是，递归代码也有很多弊端。比如，堆栈溢出、重复计算、函数调用耗时多、空间复杂度高等，所以，在编写递归代码的时候，一定要控制好这些副作用。

课后思考

我们平时调试代码喜欢使用 IDE 的单步跟踪功能，像规模比较大、递归层次很深的递归代码，几乎无法使用这种调试方式。对于递归代码，你有什么好的调试方法呢？

答：

打印日志发现，递归值
结合条件断点进行调试