16跳表:为什么Redis一定要用跳表来实现有序集合

首先,该文章来自于极客时间网站,王争的专栏——《数据结构与算法之美》,我这里只是做最简单的解释、记录并添加自己的见解,只是作为个人笔记,若侵权,马上删除。最后建议直接去该网站上购买该课程看原作者的讲解,一来是支持作者,二来是作者写的确实不错。

我们知道,二分查找要依赖于数组的随机访问特性,那么如果数据存储在链表中怎么使用二分查找呢?这就需要将链表进行改造,使其支持二分查找。改造后的数据结构称为”跳表“(Skip list)。它是一种各方面性能都比较优秀的动态数据结构,可以支持快速的插入、删除、查找操作,写起来也不复杂,甚至可以替代红黑树(Red-black tree)。

Redis(Key-Value数据库) 中的有序集合(Sorted Set)就是用跳表来实现的。通过后面的讲解我们会知道,红黑树也可以实现快速的插入、删除和查找操作。那 Redis 为什么会选择用跳表来实现有序集合呢? 为什么不用红黑树呢?

如何理解“跳表”?

对于一个单链表来讲,即便链表中存储的数据是有序的,如果我们要想在其中查找某个数据,也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率就会很低,时间复杂度会很高,是 O(n)。

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那怎么提高查找效率呢?我们可以对链表建立一级“索引”,每两个结点提取一个结点到上一级,我们把抽出来的那一级叫做索引或者索引层。如下图所示,down 表示 down指针,指向下一级结点。

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如果我们现在要查找某个结点,比如 16。我们可以先在索引层遍历,当遍历到索引层中值为 13 的结点时,我们发现下一个结点是 17,那要查找的结点 16 肯定就在这两个结点之间。然后我们通过索引层结点的 down 指针,下降到原始链表这一层,继续遍历。这个时候,我们只需要再遍历 2 个结点,就可以找到值等于 16 的这个结点了。这样,原来如果要查找 16,需要遍历 10 个结点,现在只需要遍历 7 个结点。

因此,加了一层索引后,查找一个结点需要遍历的结点个数减少了,也就是查找效率提高了。那如果再加一级索引呢?

跟前面建立第一级索引的方式相似,我们在第一级索引的基础之上,每两个结点就抽出一个结点到第二级索引。现在我们再来查找 16,只需要遍历 6 个结点了,需要遍历的结点数量又减少了。

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再举一个数据量很大的例子,如下图为一个结点为64的链表,建立五级索引。

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从图中我们可以看出,原来没有索引的时候,查找 62 需要遍历 62 个结点,现在只需要遍历 11 个结点。当链表的长度 n 比较大时,比如1000,10000的时候,在构建索引之后,查找效率的提升会非常明显。

这种链表加多级索引的结构,就是跳表。

用跳表查询到底有多快?

首先我们思考一个问题:如果链表里有 n 个结点,会有多少级索引呢?

每两个结点会抽出一个结点作为上一级索引的结点,那第一级索引的结点个数大约就是 n/2,第二级索引的结点个数大约就是 n/4,第三级索引的结点个数大约就是 n/8,依次类推,也就是说,第 k 级索引的结点个数是$n/(2^k)$。

假设索引有 h 级,最高级的索引有 2 个结点。通过上面的公式,我们可以得到 $n/(2^h)=2$,从而求得 $h=log_2n-1$。如果包含原始链表这一层,整个跳表的高度就是 $log_2n$。我们在跳表中查询某个数据的时候,如果每一层都要遍历 m 个结点,那在跳表中查询一个数据的时间复杂度就是 $O(m*logn)$。

按照前面这种索引结构,我们每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点,也就是说 m=3,为什么是 3 呢?假设我们要查找的数据是 x,在第 k 级索引中,我们遍历到 y 结点之后,发现 x 大于 y,小于后面的结点 z,所以我们通过 y 的 down 指针,从第 k 级索引下降到第 k-1 级索引。在第 k-1 级索引中,y 和 z 之间只有 3 个结点(包含 y 和 z),所以,我们在 K-1 级索引中最多只需要遍历 3 个结点,依次类推,每一级索引都最多只需要遍历 3 个结点。

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通过上面的分析,我们得到 m=3,所以在跳表中查询任意数据的时间复杂度就是 $O(logn)$。这个查找的时间复杂度跟二分查找是一样的。不过这个查询效率的提升,是拿空间换时间得到的。

跳表是不是很浪费内存?

下面我们分析下跳表的空间复杂度。跳表的空间复杂度分析并不难,我在前面说了,假设原始链表大小为 n,那第一级索引大约有 n/2 个结点,第二级索引大约有 n/4 个结点,以此类推,每上升一级就减少一半,直到剩下 2 个结点。如果我们把每层索引的结点数写出来,就是一个等比数列。

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这几级索引的结点总和就是 n/2+n/4+n/8…+8+4+2=n-2。所以,跳表的空间复杂度是 O(n)。也就是说,如果将包含 n 个结点的单链表构造成跳表,我们需要额外再用接近 n 个结点的存储空间。

如果我们每三个节点或者每五个节点抽一个节点到上级检索,就可以减少所占的存储空间了。如下图所示:

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从图中可以看出,第一级索引需要大约 n/3 个结点,第二级索引需要大约 n/9 个结点。每往上一级,索引结点个数都除以 3。为了方便计算,我们假设最高一级的索引结点个数是 1。我们把每级索引的结点个数都写下来,也是一个等比数列。

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通过等比数列求和公式,总的索引结点大约就是 n/3+n/9+n/27+…+9+3+1=n/2。尽管空间复杂度还是 O(n),但比上面的每两个结点抽一个结点的索引构建方法,要减少了一半的索引结点存储空间。

在实际的软件开发中,原始链表中存储的有可能是很大的对象,而索引结点只需要存储关键值和几个指针,并不需要存储对象,所以当对象比索引结点大很多时,那索引占用的额外空间就可以忽略了。

高效的动态插入和删除

跳表这个动态数据结构,不仅支持查找操作,还支持动态的插入、删除操作,而且插入、删除操作的时间复杂度也是 $O(logn)$。

对于插入操作,在单链表中,一旦定位好要插入的位置,插入结点的时间复杂度是很低的,就是 O(1)。但是,这里为了保证原始链表中数据的有序性,我们需要先找到要插入的位置,这个查找操作就会比较耗时。

对于纯粹的单链表,需要遍历每个结点,来找到插入的位置。但是,对于跳表来说,我们讲过查找某个结点的的时间复杂度是 $O(logn)$,所以这里查找某个数据应该插入的位置,方法也是类似的,时间复杂度也是 $O(logn)$。如下图所示:

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对于删除操作,如果这个结点在索引中也有出现,我们除了要删除原始链表中的结点,还要删除索引中的。因为单链表中的删除操作需要拿到要删除结点的前驱结点,然后通过指针操作完成删除。所以在查找要删除的结点的时候,一定要获取前驱结点。当然,如果我们用的是双向链表,就不需要考虑这个问题了。

跳表索引动态更新

当我们不停地往跳表中插入数据时,如果我们不更新索引,就有可能出现某 2 个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下,跳表还会退化成单链表。

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作为一种动态数据结构,如果链表中结点多了,索引结点就相应地增加一些,避免复杂度退化,以及查找、插入、删除操作性能下降。

对于后面要讲的红黑树、AVL 树这样平衡二叉树,是通过左右旋的方式保持左右子树的大小平衡,而跳表是通过随机函数来维护前面提到的“平衡性”。

当我们往跳表中插入数据的时候,通过一个随机函数,来决定将这个结点插入到哪几级索引中,比如随机函数生成了值 K,那我们就将这个结点添加到第一级到第 K 级这 K 级索引中。

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随机函数的选择很有讲究,从概率上来讲,能够保证跳表的索引大小和数据大小平衡性,不至于性能过度退化。至于随机函数的选择,如果你感兴趣的话,可以看看作者在 GitHub 上的代码或者 Redis 中关于有序集合的跳表实现。跳表的实现比较复杂, 但是实现并不是本节的重点,不用死记硬背代码。

解答开篇

现在我们思考下开篇的问题:为什么 Redis 要用跳表来实现有序集合,而不是红黑树?

Redis 中的有序集合是通过跳表来实现的,严格点讲,其实还用到了散列表。不过散列表暂时没有学过,所以先忽略。Redis 中的有序集合支持的核心操作主要有下面这几个:

  • 插入一个数据;
  • 删除一个数据;
  • 查找一个数据;
  • 按照区间查找数据(比如查找值在 [100, 356] 之间的数据);
  • 迭代输出有序序列

其中,插入、删除、查找以及迭代输出有序序列这几个操作,红黑树也可以完成,时间复杂度跟跳表是一样的。但是,按照区间来查找数据这个操作,红黑树的效率没有跳表高。

对于按照区间查找数据这个操作,跳表可以做到 O(logn) 的时间复杂度定位区间的起点,然后在原始链表中顺序往后遍历就可以了。这样做非常高效。

当然,Redis 之所以用跳表来实现有序集合,还有其他原因,比如,跳表更容易代码实现。虽然跳表的实现也不简单,但比起红黑树来说还是好懂、好写多了,而简单就意味着可读性好,不容易出错。还有,跳表更加灵活,它可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗。

不过,跳表也不能完全替代红黑树。因为红黑树比跳表的出现要早一些,很多编程语言中的 Map 类型都是通过红黑树来实现的。实际中的红黑树可以直接拿来使用,但是对于跳表,要自己实现。

内容小结

跳表使用空间换时间的设计思路,通过构建多级索引来提高查询的效率,实现了基于链表的“二分查找”。跳表是一种动态数据结构,支持快速的插入、删除、查找操作,时间复杂度都是 O(logn)。

跳表的空间复杂度是 O(n)。不过,跳表的实现非常灵活,可以通过改变索引构建策略,有效平衡执行效率和内存消耗。虽然跳表的代码实现并不简单,但是作为一种动态数据结构,比起红黑树来说,实现要简单多了。所以很多时候,我们为了代码的简单、易读,比起红黑树,我们更倾向用跳表。

课后思考

如果每三个或者五个结点提取一个结点作为上级索引,对应的在跳表中查询数据的时间复杂度是多少呢?

答:时间复杂度应该不变,还是O(logn)。假设每 5 个节点提取,那么最高一层有 5 个节点,而跳表高度为 $log_5n$,每层最多需要查找 6 个节点,即 $O(mlog_5n)$ 中的 $m = 6$。最终,时间复杂度为 $O(log_5n)$。空间复杂度为 $O(n)$,虽然省去了一部分索引节点,但是似乎意义不大。

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